フーリエ級数の記事で以下の積分を級数の収束値から求めていましたが、純粋に積分で求めることもできます。 広義積分になりますが、ほとんど高校レベルで解くことができますので挑戦してみてください。
\[\begin{align*}
\int_0^\pi {\rm log (sin} x) \ dx=? \\
\int_0^\frac{\pi}{2} {\rm log (sin} x) \ dx=?
\end{align*}\] ヒント: 関数のグラフを描いてみるとある性質が見えてきます。
解答
\(I=\int_0^\pi {\rm log (sin} x) \ dx\)とする。 \({\rm sin} x={\rm sin} (\pi-x)\)より、\({\rm sin} x\)は\(x=\frac{\pi}{2}\)で対称性があり、 \[\begin{align*}
\int_0^\pi {\rm log (sin} x) \ dx=\int_0^\frac{\pi}{2} {\rm log (sin} x) \ dx+\int_\frac{\pi}{2}^\pi {\rm log (sin} x) \ dx \nonumber \\
=2\int_0^\frac{\pi}{2} {\rm log (sin} x) \ dx \ .
\end{align*}\]
よって、\(\int_0^\frac{\pi}{2} {\rm log (sin} x) \ dx=\frac{I}{2}\)とわかる。\(x=\frac{\pi}{2}-t\)と置換すると、 \[\begin{align*}
\int_0^\frac{\pi}{2} {\rm log (sin} x) \ dx=\int_\frac{\pi}{2}^0 {\rm log} \left({\rm sin} \left(\frac{\pi}{2}-t \right) \right) (-dt)=\int_0^\frac{\pi}{2} {\rm log (cos} t) \ dt \ .
\end{align*}\]
定積分なので積分変数を\(x\)に置き換え、元の式と足し合わせると、 \[\begin{align*}
I&= \int_0^\frac{\pi}{2} {\rm log (sin} x) \ dx+\int_0^\frac{\pi}{2} {\rm log (cos} x) \ dx \nonumber \\
&= \int_0^\frac{\pi}{2} {\rm log (sin} x \cdot {\rm cos} x) \ dx \nonumber \\
&= \int_0^\frac{\pi}{2} {\rm log (\frac{1}{2}sin} 2x) \ dx \nonumber \\
&= \int_0^\frac{\pi}{2} {\rm log (sin} 2x) \ dx-\int_0^\frac{\pi}{2} {\rm log} 2 \ dx \ .
\end{align*}\]
右辺第二項は定数の積分なので、\(\frac{\pi}{2}{\rm log}2\)とわかる。右辺第一項の積分を\(J\)とおくと、 \[\begin{align*}
J&= \int_0^\frac{\pi}{2} {\rm log (sin} 2x) \ dx \ .
\end{align*}\]
\(x=\frac{u}{2}\)と置換して、 \[\begin{align*}
J=\int_0^\pi {\rm log (sin} u) \left(\frac{1}{2}du\right)=\frac{I}{2} \ .
\end{align*}\]
式(3)に代入して整理すると、 \[\begin{align*}
I=\frac{I}{2}-\frac{\pi}{2}{\rm log}2 \nonumber \\
I=-\pi{\rm log}2
\end{align*}\]
よって解答は以下である。 \[\begin{align*}
\int_0^\pi {\rm log (sin} x) \ dx=-\pi{\rm log}2 \\
\int_0^\frac{\pi}{2} {\rm log (sin} x) \ dx=-\frac{\pi}{2}{\rm log}2
\end{align*}\]
