演習問題

区分求積法の漸近挙動 佐久間 正樹 \(f \in C^1([0,1])\) のとき， \[\lim_{n\to\infty} n\left( \int_0^1 f(x)\,dx – \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n f\!\left(\frac{k}{n}\right) \right) = -\frac{f(1)-f(0)}{2}\] を示せ． \(f \in C^2(

\(T_1,\ldots,T_n\)が独立で，それぞれパラメータ\(\lambda_1,\ldots,\lambda_n\)の指数分布に従うとする．このとき，\(\min\{T_1,\ldots,T_n\}\)の分布を求めよ．また，\(1\leq k\leq n\)に対し， \[P(\min\{T_1,\ldots,T_n\}=T_k)\] を求めよ． \(n\)個の装置\(A_1,\ldots,

演習: 三項間漸化式とベルヌーイランダムウォーク 仁謹(Jyn kin) ランダムウォークに関する以前の記事(https://math-quest.jp/feature/911b6c6d-6a8c-ef0d-a7a4-aaa9c1f0bb40/)で、ランダムウォークの再帰性について確かめるにあたり \[\sum_{n = 0}^{\infty}t^{\frac{1}{2}}P_n(0, 0)\]

\(n\)次元ベクトル空間上で、各成分が\(0\)または\(1\)をとるベクトルの集合を\(\mathcal{X}_n\)とおく： \[\mathcal{X}_n\coloneqq\left\{(x_1,x_2,\ldots,x_n)^\mathrm{T}\mid x_1,x_2,\ldots,x_n\in\{0,1\}\right\}\subset \mathbb{R}^n.\] ここで、\(n

数列\(a_n\)を次のように定義する。以下の1、2を示せ。 \[\begin{align*} a_1=1, a_{n+1}=2a_n+1 \end{align*}\] 1. 任意の奇素数は数列\(a_n\)のある数の素因数である。 2. 任意の奇数は数列\(a_n\)のある数の約数である。 解答 数列\(a_n\)の一般項を求めると、 \[\begin{align*} a_{n}=1+2+2^2

フーリエ級数の記事で以下の積分を級数の収束値から求めていましたが、純粋に積分で求めることもできます。 広義積分になりますが、ほとんど高校レベルで解くことができますので挑戦してみてください。 \[\begin{align*} \int_0^\pi {\rm log (sin} x) \ dx=? \\ \int_0^\frac{\pi}{2} {\rm log (sin} x) \ dx=? \en