演習: 三項間漸化式とベルヌーイランダムウォーク 仁謹(Jyn kin) ランダムウォークに関する以前の記事(https://math-quest.jp/feature/911b6c6d-6a8c-ef0d-a7a4-aaa9c1f0bb40/)で、ランダムウォークの再帰性について確かめるにあたり \[\sum_{n = 0}^{\infty}t^{\frac{1}{2}}P_n(0, 0)\]

\(n\)次元ベクトル空間上で、各成分が\(0\)または\(1\)をとるベクトルの集合を\(\mathcal{X}_n\)とおく： \[\mathcal{X}_n\coloneqq\left\{(x_1,x_2,\ldots,x_n)^\mathrm{T}\mid x_1,x_2,\ldots,x_n\in\{0,1\}\right\}\subset \mathbb{R}^n.\] ここで、\(n

数列\(a_n\)を次のように定義する。以下の1、2を示せ。 \[\begin{align*} a_1=1, a_{n+1}=2a_n+1 \end{align*}\] 1. 任意の奇素数は数列\(a_n\)のある数の素因数である。 2. 任意の奇数は数列\(a_n\)のある数の約数である。 解答 数列\(a_n\)の一般項を求めると、 \[\begin{align*} a_{n}=1+2+2^2