2024.11.12

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フーリエ級数展開と無限和の研究1

フーリエ級数展開と無限和の研究1

井口 貴裕

Abstract

フーリエ級数とは、周期関数を三角関数の無限和で表現する方法で、その性質は理工学において周期信号を単純な波の和で表すときに重宝されます。 今回はフーリエ級数を利用して整数の逆数和に関する問題を考えようと思います。第一章ではフーリエ級数について紹介し、第二章では有名なバーゼル問題とその類似の問題を考察し、第三章では、リーマンゼータ関数とディリクレベータ関数の関連性について、フーリエ級数の視点からアプローチします。

1 フーリエ級数

1.1 フーリエ級数の定義

フーリエ級数について簡単に説明すると、\(-\pi < x < \pi\)で定義された値を周期的にとる関数\(f(x)\)を以下のように級数展開することを言います。

\[\begin{align}
f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty (a_n{\rm cos}\, nx+b_n{\rm sin}\, nx)
\label{1}\tag{1}
\end{align}\]
厳密には関数\(f(x)\)のフーリエ級数が収束するか、不連続点での値は定義されるかといった議論が必要になりますが、少なくとも\(f(x)\)が可積分な連続関数なら、フーリエ級数が一意に収束することが知られています。 そのため今回は\(f(x)\)を可積分な連続関数とし、また周期関数であることも忘れて\(-\pi < x < \pi\)の範囲でのみ扱います。

1.2 三角関数の直交性

\(f(x)\)をフーリエ級数展開するためには式中に出てくる係数\(a_n, b_n\)（フーリエ係数）を求める必要があります。これは次の三角関数の直交性を利用することで求められます。

 

1.3 フーリエ係数の計算

式([1])の右辺を書き下すと、

\[\begin{align}
f(x)=\frac{a_0}{2}+a_1{\rm cos}\, x+a_2{\rm cos}\, 2x+\cdots +a_n{\rm cos}\, nx+\cdots \nonumber \\
+b_1{\rm sin}\, x+b_2{\rm sin}\, 2x+\cdots +b_n{\rm sin}\, nx+\cdots
\label{5}\tag{5}
\end{align}\]
両辺に\({\rm cos}\, nx\)を掛けて\(-\pi\)～\(\pi\)で積分します。

\[\begin{align}
\int_{-\pi}^{\pi}f(x){\rm cos}\, nx\,dx=\int_{-\pi}^{\pi} \left(\frac{a_0}{2}+a_1{\rm cos}\, x+a_2{\rm cos}\, 2x+\cdots +a_n{\rm cos}\, nx+\cdots \right){\rm cos}\, nx\,dx \nonumber \\
+\int_{-\pi}^{\pi} \left(b_1{\rm sin}\, x+b_2{\rm sin}\, 2x+\cdots +b_n{\rm sin}\, nx+\cdots \right) {\rm cos}\, nx\, dx
\label{6}\tag{6}
\end{align}\]
上記の積分を各項別に考えると三角関数の直交性より\(m\neq n\)の項はすべて0になり、\(m=n\)の項だけが残ります。また、\(\int_{-\pi}^{\pi}{\rm sin}\, mx \cdot{\rm cos}\, nx\, dx\)はすべて0になります。よって式([6])は、

\[\begin{align}
\int_{-\pi}^{\pi}f(x){\rm cos}\, nx\, dx=\pi a_n \hspace{1cm} (n=0, 1, 2, \cdots)
\label{7}\tag{7}
\end{align}\]
となり、フーリエ係数\(a_n\)を求めることができます。（\(a_0\)の計算は個別に積分します）
\(b_n\)についても式([5])の両辺に\({\rm sin}\, nx\)を掛けて積分すると、

\[\begin{align}
\int_{-\pi}^{\pi}f(x){\rm sin}\, nx\, dx=\pi b_n \hspace{1cm} (n=1, 2, \cdots)
\label{8}\tag{8}
\end{align}\]
となります。
そろそろ話が長くなってきたので、このあたりでフーリエ級数についてまとめておきましょう。

 

1.4 フーリエ級数の具体例

フーリエ級数の計算方法が分かったところで、具体例として関数\(f(x)=x\)のフーリエ級数を計算してみましょう。
式([10])よりフーリエ係数\(a_n\)は、

\[\begin{align}
a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x\, {\rm cos}\, nx\, dx
\label{12}\tag{12}
\end{align}\]
を計算すれば良いのですが、被積分関数が奇関数なので、\(-\pi\)～\(\pi\)で積分すると0になります。
次にフーリエ係数\(b_n\)は、式([11])より

\[\begin{align}
b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x\, {\rm sin}\, nx\, dx
\label{13}\tag{13}
\end{align}\]
を計算して求めます。 式([13])の被積分関数は偶関数なので、
\[\begin{align}
b_n=\frac{2}{\pi}\int_0^{\pi}x\, {\rm sin}\, nx\, dx
\label{14}\tag{14}
\end{align}\] \[\begin{align}
\frac{\pi}{2}b_n&=\int_0^{\pi}x\, {\rm sin}\, nx\, dx \nonumber \\
&=-\frac{1}{n} \Big[\, x\, {\rm cos}\, nx\, \Big]^{\pi}_0+\frac{1}{n}\int_0^{\pi}{\rm cos}\, nx\, dx \nonumber \\
&=-\frac{\pi}{n}{\rm cos}\, n\pi -\frac{1}{n^2} \Big[\, {\rm sin}\, nx\, \Big]^{\pi}_0 \nonumber \\
&=-\frac{\pi}{n}{\rm cos}\, n\pi \nonumber \\
&=-\frac{\pi}{n}(-1)^n \nonumber \\
b_n&=-\frac{2}{n}(-1)^n
\label{15}\tag{15}
\end{align}\]
従って\(f(x)=x\)のフーリエ級数展開は、

\[\begin{align}
x=-2\sum_{n=1}^\infty (-1)^n\frac{{\rm sin}\, nx}{n}=2\left( \frac{{\rm sin}\, x}{1}-\frac{{\rm sin}\, 2x}{2}+\frac{{\rm sin}\, 3x}{3}-\frac{{\rm sin}\, 4x}{4}+\cdots \right) \hspace{0.5cm} (-\pi < x < \pi)
\label{16}\tag{16}
\end{align}\]
と求めることができました。
さらに\(x\)を\(\pi-x\)に置き換えます。定義域が変わることに注意して

\[\begin{align}
\pi-x=-2\sum_{n=1}^\infty (-1)^n\frac{{\rm sin}\, n(\pi-x)}{n}=2\sum_{n=1}^\infty \frac{{\rm sin}\, nx}{n} \hspace{0.5cm} (-\pi < \pi-x < \pi) \nonumber \\
\frac{\pi-x}{2}=\frac{{\rm sin}\, x}{1}+\frac{{\rm sin}\, 2x}{2}+\frac{{\rm sin}\, 3x}{3}+\frac{{\rm sin}\, 4x}{4}+\cdots \hspace{1cm} (0 < x < 2\pi)
\label{17}\tag{17}
\end{align}\]

これによって\({\rm sin}\, nx/n\)の無限和が、\((0 < x < 2\pi)\)の範囲で一次関数と一致することが分かりました。
不思議な等式で直感的には信じがたい結果ですが、フーリエ級数を利用すると上記のような不思議な式がたくさん出てきます。ここでは結果だけ紹介しますが、

\[\begin{align}
\left.
\begin{array}{l}
\displaystyle \hspace{0.2cm} \frac{\pi}{4} \hspace{0.5cm} \left(0 < x < \frac{\pi}{2} \right) \\
\\
\displaystyle \hspace{0.2cm} 0 \hspace{0.7cm} \left(x=\frac{\pi}{2} \right) \\
\\
\displaystyle -\frac{\pi}{4} \hspace{0.5cm} \left( \frac{\pi}{2} < x < \pi \right)
\end{array}
\right\}
&=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2n+1} {\rm cos}\, (2n+1)x \nonumber \\
&=\frac{{\rm cos}\, x}{1}-\frac{{\rm cos}\, 3x}{3}+\frac{{\rm cos}\, 5x}{5}-\frac{{\rm cos}\, 7x}{7}+\cdots
\label{18}\tag{18}
\end{align}\]
\[\begin{align}
\left.
\begin{array}{l}
\displaystyle \frac{\pi}{8}{\rm sin}^2\, x \hspace{0.5cm} (-\pi \leq x < 0) \\
\\
\displaystyle -\displaystyle \frac{\pi}{8}{\rm sin}^2\, x \hspace{0.5cm} (0 \leq x \leq \pi)
\end{array}
\right\}
&=\sum_{n=1,3,5, \ldots}\frac{{\rm sin}\, nx}{(n-2)n(n+2)} \hspace{1cm} \nonumber \\
&=\frac{{\rm sin}\, x}{-1 \cdot 1 \cdot 3}+\frac{{\rm sin}\, 3x}{1 \cdot 3 \cdot 5}+\frac{{\rm sin}\, 5x}{3 \cdot 5 \cdot 7}+\frac{{\rm sin}\, 7x}{5 \cdot 7 \cdot 9}+\cdots
\label{19}\tag{19}
\end{align}\]
\[\begin{align}
-{\rm log} \left(2\, {\rm sin}\frac{x}{2} \right)=\sum_{n=1}^\infty \frac{{\rm cos}\, nx}{n}=\frac{{\rm cos}\, x}{1}+\frac{{\rm cos}\, 2x}{2}+\frac{{\rm cos}\, 3x}{3}+\frac{{\rm cos}\, 4x}{4}+\cdots \hspace{0.5cm} (0< x < 2\pi)
\label{20}\tag{20}
\end{align}\]
などの式を得ることができます。式([18])はフーリエ級数を発見したフーリエによって得られた式です。左辺は三角関数の和で\(x\)の関数なのに、無限和が\(x\)に依らない定数に収束するのは驚きです。式([20])の左辺は正弦対数関数と呼ばれる関数です。\({\rm sin}\, nx/n\)の無限和は一次関数に収束しましたが、\({\rm cos}\, nx/n\)の無限和は単純ではない関数に収束するようです。
定義域が\(-\pi < x < \pi\)でなくなっていますが、これは両辺が\(x=\pi\)でも成立していたり、式([17])のような置換をしたためです。
今回はフーリエ級数の概要と、関数のフーリエ級数展開の一例を紹介しました。 次回はフーリエ級数を応用してバーゼル問題とそれに関する無限和について考察していきたいと思います。