3 リーマンゼータ関数とディリクレベータ関数
リーマンゼータ関数とディリクレベータ関数には、よく知られた特殊値とそうでない特殊値があります。実はそのよく知られた部分とそうでない部分には密接な繋がりがあります。今回はフーリエ級数を利用してリーマンゼータ関数の特殊値と、それに関連するディリクレベータ関数の特殊値について考察します。
3.1 ゼータ関数の特殊値
今回の主役であるリーマンゼータ関数とは以下の式で定義される関数です。
\[\begin{align}
\zeta(s)=\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^s}
=\frac{1}{1^s}+\frac{1}{2^s}+\frac{1}{3^s}+\frac{1}{4^s}+\cdots
\label{38}\tag{38}
\end{align}\]
変数が\(x\)ではなく\(s\)を使っていますが、これはゼータ関数の研究で知られるリーマンが\(s\)を使っていたことに由来します。一般には\(s\)が複素数の範囲で研究されていますが、今回はあくまで\(s\)が自然数のときの特殊値を考えていきます。
\(s=1\)のときは総和が発散します。
\[\begin{align}
\zeta(1)=\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots=\infty
\label{39}\tag{39}
\end{align}\]
\(s=2\)のとき、
\[\begin{align}
\zeta(2)=\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\cdots=\frac{\pi^2}{6}
\label{40}\tag{40}
\end{align}\]
であり、これはバーゼル問題そのものです。
さらに\(s\)が正の偶数\(2n\)のとき、
\[\begin{align}
\zeta(2n)=\frac{(-1)^{n+1}(2\pi)^{2n}B_{2n}}{2(2n)!} \hspace{0.5cm} (B_{2n} \mbox{は$2n$番目のベルヌーイ数})
\label{41}\tag{41}
\end{align}\]
となることがオイラーによって証明されています。
では3以上の奇数のときゼータ関数の値はどうなるのかというと、実はよく分かっていません。式([41])のような明示的な式は得られておらず、1977年にようやく\(\zeta(3)\)が無理数であることが証明されました。(アペリーの定理)
\(\zeta(3)\)について定積分や無限和を用いた式は知られていますが、それがどんな値に収束するかは未だ分かっていません。
3.2 アペリーの定数
ロジェ・アペリーによって\(\zeta(3)\)が無理数であることが証明されゼータ関数の特殊値に関する研究が進み、その功績から\(\zeta(3)\)の値はアペリーの定数と名付けられました。アペリーの定数は数値計算によって以下の値に収束することが知られています。
\[\begin{align}
\zeta(3)=\frac{1}{1^3}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{3^3}+\frac{1}{4^3}+\cdots=1.2020569\ldots
\label{42}\tag{42}
\end{align}\]
前述の通り、アペリーの定数は\(\pi\)などの定数を用いた明示的な式は知られていませんが、定積分を用いた式は得られていますので今回はそれを導出しようと思います。使うのは第一回で紹介した式(20)のフーリエ級数です。
\[\begin{align}
\hspace{1cm} -{\rm log} \left(2\, {\rm sin}\frac{x}{2} \right)=
\frac{{\rm cos}\, x}{1}+\frac{{\rm cos}\, 2x}{2}+\frac{{\rm cos}\, 3x}{3}+\frac{{\rm cos}\, 4x}{4}+\cdots \hspace{0.5cm} (0< x < 2\pi) \hspace{2cm} (20\mbox{再掲})
\end{align}\]
両辺に\(x\)を掛けて \[\begin{align}
-x{\rm log} \left(2\, {\rm sin}\frac{x}{2} \right)=
\frac{x\cdot{\rm cos}\, x}{1}+\frac{x\cdot{\rm cos}\, 2x}{2}+\frac{x\cdot{\rm cos}\, 3x}{3}+\frac{x\cdot{\rm cos}\, 4x}{4}+\cdots \hspace{0.5cm} (0< x < 2\pi)
\label{43}\tag{43}
\end{align}\]
0～\(\pi\)で積分すると
\[\begin{align}
\int_0^{\pi} \frac{x\cdot{\rm cos}\, nx}{n}\, dx&= \frac{1}{n^2}\Big[\, x\cdot{\rm sin}\, nx\, \Big]^{\pi}_0-\frac{1}{n^2} \int_0^{\pi} {\rm sin}\, nx \, dx \nonumber \\
&= \frac{1}{n^3}\Big[\, {\rm cos}\, nx\, \Big]^{\pi}_0 \nonumber \\
&=\frac{(-1)^n-1}{n^3} \nonumber \\
&=\left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle -\frac{2}{n^3} \hspace{0.5cm} (n: \ \mbox{奇数}) \\
0 \hspace{0.5cm} (n: \ \mbox{偶数})
\end{array}
\right.
\label{44}\tag{44}
\end{align}\]
より右辺の積分は
\[\begin{align}
-2\left( \frac{1}{1^3}+\frac{1}{3^3}+\frac{1}{5^3}+\frac{1}{7^3}+\cdots \right)
\label{45}\tag{45}
\end{align}\]
となり、奇数の3乗の逆数和が出てきました。これを\(\zeta(3)\)を用いて表すと以下のようになります。
\[\begin{align}
\zeta(3)&=\frac{1}{1^3}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{3^3}+\frac{1}{4^3}+\cdots \nonumber \\
&=\frac{1}{1^3}+\frac{1}{3^3}+\frac{1}{5^3}+\frac{1}{7^3}+\cdots +
\frac{1}{2^3}+\frac{1}{4^3}+\frac{1}{6^3}+\frac{1}{8^3}+\cdots \nonumber \\
&=\frac{1}{1^3}+\frac{1}{3^3}+\frac{1}{5^3}+\frac{1}{7^3}+\cdots +
\frac{1}{2^3}\left( \frac{1}{1^3}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{3^3}+\frac{1}{4^3}+\cdots \right) \nonumber \\
&=\frac{1}{1^3}+\frac{1}{3^3}+\frac{1}{5^3}+\frac{1}{7^3}+\cdots +
\frac{1}{2^3}\zeta(3) \nonumber \\
\frac{7}{8}\zeta(3)&=\frac{1}{1^3}+\frac{1}{3^3}+\frac{1}{5^3}+\frac{1}{7^3}+\cdots
\label{46}\tag{46}
\end{align}\]
よって式([43])の右辺の積分は
\[\begin{align}
-2\left( \frac{1}{1^3}+\frac{1}{3^3}+\frac{1}{5^3}+\frac{1}{7^3}+\cdots \right)=-\frac{7}{4}\zeta(3)
\label{47}\tag{47}
\end{align}\]
となります。
一方で式(43)の左辺の積分は
\[\begin{align}
-\int_0^{\pi} x\, {\rm log} \left(2\, {\rm sin}\frac{x}{2} \right)dx
&=-{\rm log}\, 2\int_0^{\pi}x\,dx -\int_0^{\pi} x\, {\rm log} \left({\rm sin}\frac{x}{2} \right)dx \nonumber \\
&=-\frac{\pi^2}{2}{\rm log}\, 2 -\int_0^{\pi} x\, {\rm log} \left({\rm sin}\frac{x}{2} \right)dx
\label{48}\tag{48}
\end{align}\]
\[\begin{align}
\zeta(3)=\frac{2\pi^2}{7} {\rm log}\, 2+\frac{4}{7}\int_0^{\pi} x\, {\rm log} \left({\rm sin}\frac{x}{2} \right)dx
\label{49}\tag{49}
\end{align}\]
定積分を用いてアペリーの定数\(\zeta(3)\)を表すことができました。
式([47])で積分変数\(x\)を\(2x\)に置き換えると
\[\begin{align}
\zeta(3)=\frac{2\pi^2}{7} {\rm log}\, 2+\frac{16}{7}\int_0^{\frac{\pi}{2}} x\, {\rm log} ({\rm sin}\, x)\, dx
\label{50}\tag{50}
\end{align}\]
となります。この式はオイラーによって導出されており、\(\zeta(3)\)を表す式として有名です。
アペリーの定数の値は、式([50])の定積分に依存するのですが、残念ながらこの定積分の値が分かっていないためにアペリーの定数の値も分からないのです。
3.3 ディリクレベータ関数
リーマンゼータ関数と深い関係にあるのが、以下の式で定義されるディリクレベータ関数です。
\[\begin{align}
\beta(s)=\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2k+1)^s}=\frac{1}{1^s}-\frac{1}{3^s}+\frac{1}{5^s}-\frac{1}{7^s}+\cdots
\label{51}\tag{51}
\end{align}\]
リーマンゼータ関数は\(s\)が偶数のときの特殊値が明示的な式として知られていますが、ディリクレベータ関数は\(s\)が奇数のとき
\[\begin{align}
\beta(2n+1)=\frac{(-1)^n\pi^{2n+1}E_{2n}}{4^{n+1}(2n)!} \hspace{0.5cm} (E_{2n} \mbox{は$2n$番目のオイラー数})
\label{52}\tag{52}
\end{align}\]
という式で表せることが知られています。そして面白いことに\(s\)が偶数のときの値はよく分かっていません。
つまり、リーマンゼータ関数は\(s\)が偶数のときは明示的な式が知られていますが、奇数のときはよく分かっておらず、ディリクレベータ関数は\(s\)が奇数のときは明示的な式が知られていますが、偶数のときはよく分かっていないのです。
この二つには何か関連がありそうです。その関連を見ていくために前回バーゼル問題を解いた方法で、ディリクレベータ関数の特殊値\(\beta(3)\)を計算します。使うのは第一回で紹介した式(18)と二次関数のフーリエ級数展開です。
\[\begin{align}
\hspace{3.5cm} \left.
\begin{array}{l}
\displaystyle \hspace{0.2cm} \frac{\pi}{4} \hspace{0.5cm} \left(0 < x < \frac{\pi}{2} \right) \\
\\
\displaystyle \hspace{0.2cm} 0 \hspace{0.7cm} \left(x=\frac{\pi}{2} \right) \\
\\
\displaystyle -\frac{\pi}{4} \hspace{0.5cm} \left( \frac{\pi}{2} < x < \pi \right)
\end{array}
\right\}
=\frac{{\rm cos}\, x}{1}-\frac{{\rm cos}\, 3x}{3}+\frac{{\rm cos}\, 5x}{5}-\frac{{\rm cos}\, 7x}{7}+\cdots \hspace{2.5cm} (18\mbox{再掲})
\end{align}\]
\[\begin{align}
\frac{\pi^2}{12}-\frac{x^2}{4}=\frac{{\rm cos}\, x}{1^2}-\frac{{\rm cos}\, 2x}{2^2}-\frac{{\rm cos}\, 3x}{3^2}+\frac{{\rm cos}\, 4x}{4^2}+\cdots \hspace{0.5cm} (-\pi < x < \pi)
\label{53}\tag{53}
\end{align}\]
式([53])の導出はフーリエ級数の定義に従って計算するだけなので省略します。
この二つの式を掛け合わせて0～\(\pi\)で積分します。
\[\begin{align}
\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\pi}{4}\left( \frac{\pi^2}{12}-\frac{x^2}{4} \right)dx-\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \frac{\pi}{4}\left( \frac{\pi^2}{12}-\frac{x^2}{4} \right)dx \hspace{6cm} \nonumber
\label{54}\tag{54}
\end{align}\] \[\begin{align}
=\int_0^{\pi}\left( \frac{{\rm cos}\, x}{1}-\frac{{\rm cos}\, 3x}{3}+\frac{{\rm cos}\, 5x}{5}-\frac{{\rm cos}\, 7x}{7}+\cdots \right) \left( \frac{{\rm cos}\, x}{1^2}-\frac{{\rm cos}\, 2x}{2^2}+\frac{{\rm cos}\, 3x}{3^2}-\frac{{\rm cos}\, 4x}{4^2}+\cdots \right)dx
\end{align}\]
偶関数の性質と三角関数の直交性
\[\begin{align}
\int_0^{\pi} {\rm cos}\, mx \cdot{\rm cos}\, nx \, dx=\frac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi}{\rm cos}\, mx \cdot{\rm cos}\, nx \, dx=\left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle \frac{\pi}{2} \hspace{0.5cm} (m=n) \\
\\
0 \hspace{0.5cm} (m\neq n)
\end{array}
\right.
\label{55}\tag{55}
\end{align}\]
より、式([54])の右辺は
\[\begin{align}
(\mbox{右辺})=\frac{\pi}{2} \left( \frac{1}{1^3}-\frac{1}{3^3}+\frac{1}{5^3}-\frac{1}{7^3}+\cdots \right)=\frac{\pi}{2}\beta(3)
\label{56}\tag{56}
\end{align}\]
式([54])の左辺は
\[\begin{align}
(\mbox{左辺})&=\frac{\pi^3}{48}\int_0^{\frac{\pi}{2}}dx-\frac{\pi}{16}\int_0^{\frac{\pi}{2}}x^2\, dx-\frac{\pi^3}{48}\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}dx+\frac{\pi}{16}\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}x^2\, dx \nonumber \\
&=\frac{\pi^3}{48} \left( \frac{\pi}{2}-\pi+\frac{\pi}{2} \right)-\frac{\pi}{16}\Big[\, \frac{x^3}{3} \, \Big]^{\frac{\pi}{2}}_0+\frac{\pi}{16}\Big[\, \frac{x^3}{3} \, \Big]^{\pi}_{\frac{\pi}{2}} \nonumber \\
&=-\frac{\pi^3}{48}\left( \frac{\pi^3}{8}-\pi^3+\frac{\pi^3}{8} \right) \nonumber \\
&=\frac{\pi^4}{64}
\label{57}\tag{57}
\end{align}\]
式([56])、式([57])より、 \[\begin{align}
\frac{\pi}{2}\beta(3)&=\frac{\pi^4}{64} \nonumber \\
\beta(3)&=\frac{\pi^3}{32}
\label{58}\tag{58}
\end{align}\]
このように\(\beta(3)\)の値はフーリエ級数を掛け合わせて積分することで求めることができます。式(18)が符号の交代を担っているため、そこに偶数次多項式のフーリエ級数を掛けることで奇数の特殊値を計算できます。例えば上記の計算で、\(x^2\)のフーリエ級数を\(x^4\)のフーリエ級数に換えて計算すると\(\beta(5)\)の値も得られます。
ここまでの例で見てきた通り、リーマンゼータ関数の偶数における特殊値と、ディリクレベータ関数の奇数における特殊値はどちらも多項式関数の定積分に帰着させて計算できるます。反面、リーマンゼータ関数の奇数における特殊値を定積分に帰着させると、計算できない定積分が出てきてしまうのです。そしてこの要因がディリクレベータ関数の偶数における特殊値にも見られるため、こちらも値を求めることができないのです。
次節では最後に残されたパターンであるディリクレベータ関数の偶数の特殊値について計算し、リーマンゼータ関数の奇数の特殊値との関連についてお話しします。
3.4 カタランの定数
ディリクレベータ関数の特殊値のうち最小の正の偶数である\(s=2\)の値をカタランの定数と呼び、数値計算によって以下の値に収束することが知られています。
\[\begin{align}
\beta(2)=\frac{1}{1^2}-\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}-\frac{1}{7^2}+\cdots=0.915965\ldots
\label{59}\tag{59}
\end{align}\]
前節でも述べた通り、ディリクレベータ関数の偶数における特殊値は明示的な得られておらず、カタランの定数\(\beta(2)\)が無理数であるかどうかさえ分かっていません。それでも定積分を用いて表すことはできるので、ここではフーリエ級数を利用してカタランの定数の積分表示を導出します。使うのは第一回で紹介した式(18)と式(20)です。
\[\begin{align}
\hspace{3.5cm} \left.
\begin{array}{l}
\displaystyle \hspace{0.2cm} \frac{\pi}{4} \hspace{0.5cm} \left(0 < x < \frac{\pi}{2} \right) \\
\\
\displaystyle \hspace{0.2cm} 0 \hspace{0.7cm} \left(x=\frac{\pi}{2} \right) \\
\\
\displaystyle -\frac{\pi}{4} \hspace{0.5cm} \left( \frac{\pi}{2} < x < \pi \right)
\end{array}
\right\}
=\frac{{\rm cos}\, x}{1}-\frac{{\rm cos}\, 3x}{3}+\frac{{\rm cos}\, 5x}{5}-\frac{{\rm cos}\, 7x}{7}+\cdots \hspace{2.5cm} (18\mbox{再掲})
\end{align}\]
\[\begin{align}
\hspace{3cm} -{\rm log} \left(2\, {\rm sin}\frac{x}{2} \right)
=\frac{{\rm cos}\, x}{1}+\frac{{\rm cos}\, 2x}{2}+\frac{{\rm cos}\, 3x}{3}+\frac{{\rm cos}\, 4x}{4}+\cdots \hspace{0.5cm} (0< x < 2\pi) \hspace{2.5cm} (20\mbox{再掲})
\end{align}\]
式(18)と式(20)の両辺を掛け合わせて0～\(\pi\)で積分します。
\[\begin{align}
-\frac{\pi}{4}\int_0^{\frac{\pi}{2}}{\rm log} \left(2\, {\rm sin}\frac{x}{2} \right)dx+\frac{\pi}{4}\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}{\rm log} \left(2\, {\rm sin}\frac{x}{2} \right)dx \hspace{6cm}
\end{align}\]
\[\begin{align}
\hspace{1cm} =\int_0^{\pi} \left( \frac{{\rm cos}\, x}{1}-\frac{{\rm cos}\, 3x}{3}+\frac{{\rm cos}\, 5x}{5}-\frac{{\rm cos}\, 7x}{7}+\cdots \right) \left( \frac{{\rm cos}\, x}{1}+\frac{{\rm cos}\, 2x}{3}+\frac{{\rm cos}\, 3x}{3}+\frac{{\rm cos}\, 4x}{4}+\cdots \right)dx
\label{60}\tag{60}
\end{align}\]
偶関数の性質と三角関数の直交性より、式([60])の右辺は
\[\begin{align}
(\mbox{右辺})=\frac{\pi}{2}\left( \frac{1}{1^2}-\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}-\frac{1}{7^2}+\cdots \right)
\label{61}\tag{61}
\end{align}\]
となり、カタランの定数が出てきました。
式([60])の左辺は第二項を\(x=\pi-t\)と置き換えると
\[\begin{align}
(\mbox{左辺})&=-\frac{\pi}{4}\int_0^{\frac{\pi}{2}}{\rm log} \left(2\, {\rm sin}\frac{x}{2} \right)dx+\frac{\pi}{4}\int_{\frac{\pi}{2}}^0{\rm log} \left(2\, {\rm sin}\frac{\pi-t}{2} \right)(-dt) \nonumber \\
&=-\frac{\pi}{4}\int_0^{\frac{\pi}{2}}{\rm log} \left(2\, {\rm sin}\frac{x}{2} \right)dx+\frac{\pi}{4}\int_0^{\frac{\pi}{2}}{\rm log} \left(2\, {\rm cos}\frac{t}{2} \right)dt
\label{62}\tag{62}
\end{align}\]
定積分なので第二項の積分変数\(t\)を\(x\)に書き換えて
\[\begin{align}
(\mbox{左辺})&=-\frac{\pi}{4}\int_0^{\frac{\pi}{2}}{\rm log} \left(2\, {\rm sin}\frac{x}{2} \right)dx+\frac{\pi}{4}\int_0^{\frac{\pi}{2}}{\rm log} \left(2\, {\rm cos}\frac{x}{2} \right)dx \nonumber \\
&=-\frac{\pi}{4}\int_0^{\frac{\pi}{2}}{\rm log} \left({\rm tan}\frac{x}{2} \right)dx
\label{63}\tag{63}
\end{align}\]
式(59)と式(61)と式(63)より、
\[\begin{align}
\frac{\pi}{2}\left( \frac{1}{1^2}-\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}-\frac{1}{7^2}+\cdots \right)&=-\frac{\pi}{4}\int_0^{\frac{\pi}{2}}{\rm log} \left({\rm tan}\frac{x}{2} \right)dx \nonumber \\
\beta(2)&=-\frac{1}{2}\int_0^{\frac{\pi}{2}}{\rm log} \left({\rm tan}\frac{x}{2} \right)dx \nonumber \\
&=-\int_0^{\frac{\pi}{4}}{\rm log} ({\rm tan}\, x)\, dx
\label{64}\tag{64}
\end{align}\]
カタランの定数の積分表示を得ることができました。
3.5 アペリーの定数とカタランの定数の関連性
ここまでの内容でリーマンゼータ関数の奇数の特殊値であるアペリーの定数と、ディリクレベータ関数の偶数の特殊値であるカタランの定数の積分表示を見てきました。最後にこの2つを比較して本稿のまとめにしたいと思います。
アペリーの定数の積分表示である式([50])を変形します。
\[\begin{align}
\hspace{5.5cm} \zeta(3)=\frac{2\pi^2}{7} {\rm log}\, 2+\frac{16}{7}\int_0^{\frac{\pi}{2}} x\, {\rm log} ({\rm sin}\, x)\, dx \hspace{4.8cm} (50\mbox{再掲})
\end{align}\]
\[\begin{align}
\zeta(3)&=\frac{2\pi^2}{7} {\rm log}\, 2+\frac{16}{7}\int_{\frac{\pi}{2}}^0 \left(\frac{\pi}{2}-x \right){\rm log} \left({\rm sin} \left( \frac{\pi}{2}-x \right) \right)(-dx) \nonumber \\
&=\frac{2\pi^2}{7} {\rm log}\, 2+\frac{8\pi}{7}\int_0^{\frac{\pi}{2}} {\rm log} ({\rm cos}\, x)\, dx-\frac{16}{7}\int_0^{\frac{\pi}{2}} x\, {\rm log} ({\rm cos}\, x)\, dx
\label{65}\tag{65}
\end{align}\]
ここでは計算を省略しますが、右辺第二項の積分は
\[\begin{align}
\int_0^{\frac{\pi}{2}} {\rm log} ({\rm cos}\, x)\, dx=-\frac{\pi}{2}{\rm log}\, 2
\label{66}\tag{66}
\end{align}\]
となることが知られています。
式([65])に代入し、
\[\begin{align}
\zeta(3)&=\frac{2\pi^2}{7} {\rm log}\, 2-\frac{4\pi^2}{7} {\rm log}\, 2-\frac{16}{7}\int_0^{\frac{\pi}{2}} x\, {\rm log} ({\rm cos}\, x)\, dx
\label{67}\tag{67}
\end{align}\]
式([50])と辺々足し合わせると、
\[\begin{align}
2\zeta(3)&=\frac{4\pi^2}{7} {\rm log}\, 2-\frac{4\pi^2}{7} {\rm log}\, 2 +\frac{16}{7}\int_0^{\frac{\pi}{2}} x\, {\rm log} ({\rm sin}\, x)\, dx-\frac{16}{7}\int_0^{\frac{\pi}{2}} x\, {\rm log} ({\rm cos}\, x)\, dx \nonumber \\
&=\frac{16}{7}\int_0^{\frac{\pi}{2}} x\, {\rm log} ({\rm tan}\, x)\, dx \nonumber \\
\frac{7}{8}\zeta(3)&=\int_0^{\frac{\pi}{2}} x\, {\rm log} ({\rm tan}\, x)\, dx
\label{68}\tag{68}
\end{align}\]
カタランの定数の積分表示とよく似た積分を得ることができました。左辺の\(7/8\)が邪魔に見えますが、これは式([46])で計算した奇数の3乗の逆数和です。
\[\begin{align}
\hspace{6cm} \frac{7}{8}\zeta(3)=\frac{1}{1^3}+\frac{1}{3^3}+\frac{1}{5^3}+\frac{1}{7^3}+\cdots \hspace{5cm} (46\mbox{再掲})
\end{align}\]
これとカタランの定数の積分表示を並べて見ると
\[\begin{align}
\frac{7}{8}\zeta(3)=\frac{1}{1^3}+\frac{1}{3^3}+\frac{1}{5^3}+\frac{1}{7^3}+\cdots=\int_0^{\frac{\pi}{2}} x\, {\rm log} ({\rm tan}\, x)\, dx
\label{69}\tag{69}
\end{align}\] \[\begin{align}
\beta(2)=\frac{1}{1^2}-\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}-\frac{1}{7^2}+\cdots=-\int_0^{\frac{\pi}{4}}{\rm log} ({\rm tan}\, x)\, dx
\label{70}\tag{70}
\end{align}\]
よく似た積分表示になっています。この二つの式を一つの式で表してみます。これが最後の計算になります。
式([69])の定積分を0〜\(\frac{\pi}{4}\)と\(\frac{\pi}{4}\)〜\(\frac{\pi}{2}\)に分けて
\[\begin{align}
\frac{7}{8}\zeta(3)&=\int_0^{\frac{\pi}{4}} x\, {\rm log} ({\rm tan}\, x)\, dx+\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} x\, {\rm log} ({\rm tan}\, x)\, dx
\label{71}\tag{71}
\end{align}\] 右辺第二項で\(x=\frac{\pi}{2}-t\)とすると、
\[\begin{align}
\frac{7}{8}\zeta(3)&=\int_0^{\frac{\pi}{4}} x\, {\rm log} ({\rm tan}\, x)\, dx+\int_{\frac{\pi}{4}}^0 \left( \frac{\pi}{2}-t \right){\rm log} \left( \frac{1}{{\rm tan}\,t} \right)(-dt) \nonumber \\
&=\int_0^{\frac{\pi}{4}} x\, {\rm log} ({\rm tan}\, x)\, dx+\int_0^{\frac{\pi}{4}} \left(t-\frac{\pi}{2} \right){\rm log} ({\rm tan}\, t)\, dt
\label{72}\tag{72}
\end{align}\] 積分変数\(t\)を\(x\)に書き換えて \[\begin{align}
\frac{7}{8}\zeta(3)&=\int_0^{\frac{\pi}{4}} x\, {\rm log} ({\rm tan}\, x)\, dx+\int_0^{\frac{\pi}{4}} \left(x-\frac{\pi}{2} \right){\rm log} ({\rm tan}\, x)\, dx \nonumber \\
&=2\int_0^{\frac{\pi}{4}} x\, {\rm log} ({\rm tan}\, x)\, dx-\frac{\pi}{2} \int_0^{\frac{\pi}{4}} {\rm log} ({\rm tan}\, x)\, dx \nonumber \\
&=2\int_0^{\frac{\pi}{4}} x\, {\rm log} ({\rm tan}\, x)\, dx+\frac{\pi}{2} \beta(2) \nonumber \\
\frac{7}{4}\zeta(3)&=4\int_0^{\frac{\pi}{4}} x\, {\rm log} ({\rm tan}\, x)\, dx+\pi \beta(2)
\label{73}\tag{73}
\end{align}\] これが、アペリーの定数とカタランの定数の関係式です。この結果をもって本稿の内容は終わりです。長らくお付き合いいただきありがとうございました。アペリーの定数は無理数であることが証明されており、カタランの定数も無理数と予想されていますが、式([73])の関係から無理数性の証明は難しそうです。
筆者: 井口 貴裕
