\(\mathbb{R}^n\)内のアフィン独立な\(n+1\)個の点の凸包\(S\)（\(n\)次元図形）を\(n\)-単体(\(n\)-simplex)または単に単体(simplex)と言う．\(n+1\)個の点を\(p_0,p_1,\ldots,p_n\)とすると，\(S\)は次のように表せる： \[S=\left\{t_0 p_0+\cdots +t_n p_n \middle| \sum_{k=0}^n t_k=1,t_i\geq 0\;(\forall i)\right\}\] さらに，正多胞体でもあるような単体を正単体と言う．つまり，正単体とは全ての面が合同な単体であり，2次元における正三角形や3次元における正四面体の一般次元への拡張である．

1. 1辺の長さが1である\(n\)次元正単体の体積\(V\)を求めよ．ただし，\(n\geq 1\)とする．

2. 1辺の長さが1である\(n\)次元正単体の表面積\(A\)を求めよ．ただし，\(n\geq 1\)とする．

1 解答

1. 平行移動で体積は変わらないから，\(p_0=0\)を頂点の一つとする正単体を考える．他の頂点を\(p_1,\ldots,p_n\)とする． \[C=\left\{t_1 p_1+\cdots +t_n p_n \middle| 0\leq t_i\leq 1\;(\forall i)\right\}\] とする． \(\mathbb{R}^n\)の標準的な計量に関する体積の定義から， \[\begin{align*}
   V &= \int_{S}d\mathrm{vol}=\frac{1}{n!}\int_{C}d\mathrm{vol} \\
   &=\frac{1}{n!}\int_{[0,1]^n}\det(p_1\; p_2\; \cdots \; p_n)d\mathrm{vol} \\
   &=\frac{1}{n!}\det(p_1\; p_2\; \cdots \; p_n).
   \end{align*}\]

   ここで，正単体であることから，\(|p_i|=1\)（\(i=1,\dots,n\)）かつ \(i\neq j\) に対して \(|p_i-p_j|=1\) が成り立つ．よって内積を用いると \[|p_i-p_j|^2
   =|p_i|^2+|p_j|^2-2p_i\cdot p_j
   =1\] より \[p_i\cdot p_j=\frac{1}{2}\qquad(i\neq j),\] また \[p_i\cdot p_i=1.\]

   したがって，グラム行列 \[G=\bigl(p_i\cdot p_j\bigr)_{1\le i,j\le n}\] は \[G=
   \begin{pmatrix}
   1 & \tfrac12 & \cdots & \tfrac12\\
   \tfrac12 & 1 & \cdots & \tfrac12\\
   \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
   \tfrac12 & \tfrac12 & \cdots & 1
   \end{pmatrix}\] となる．行列の基本性質より \[\det(p_1\;p_2\;\cdots\;p_n)^2=\det G\] が成り立つ．

   この行列は \[G=\frac12 I_n+\frac12 J_n\] （\(I_n\)は単位行列，\(J_n\)は全成分が1の行列）と書ける． \(J_n\)の固有値は \(n\)（重複度1）と \(0\)（重複度\(n-1\)）であるから， \(G\)の固有値は \[\frac12+\frac12 n=\frac{n+1}{2}\quad(\text{重複度 }1),\qquad
   \frac12\quad(\text{重複度 }n-1)\] となる．従って \[\det G
   =\frac{n+1}{2}\left(\frac12\right)^{n-1}
   =\frac{n+1}{2^n}.\]

   以上より \[\det(p_1\;p_2\;\cdots\;p_n)
   =\sqrt{\frac{n+1}{2^n}},\] したがって体積は \[\boxed{
   V=\frac{1}{n!}\sqrt{\frac{n+1}{2^n}}
   }\] である．

2. 次に表面積を求める．\(n\)次元正単体の各面は， 辺の長さが1の\((n-1)\)次元正単体であり， その個数は \(n+1\) 個である． したがって，\((n-1)\)次元正単体に対して(1)の結果を用いると，各面の\((n-1)\)次元体積は \[V_{n-1}
   =\frac{1}{(n-1)!}\sqrt{\frac{n}{2^{n-1}}}\] である．よって表面積 \(A\) は \[\boxed{
   A=(n+1)\frac{1}{(n-1)!}\sqrt{\frac{n}{2^{n-1}}}
   }\] となる．

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