問題

1. 連続な凸関数\(f\)と狭義単調増加で連続な凸関数\(g\)の組であって，合成\(f\circ g\)が凸関数にならない例を挙げよ．

2. \(I,J,K\)を有界閉区間とする．凸関数\(g:I\to J\)と広義単調増加な凸関数\(f:J\to K\)の合成\(f\circ g\)が凸関数となることを示せ．

3. \(I=[a,b]\)を有界閉区間とし，\(f:I\to I\)を狭義単調減少でない連続な凸関数とする．このとき，以下は同値であることを示せ．

   • \(f\circ f\)は凸関数である．

   • ある広義極小点\(x_0\in I\)が存在して\(f(x_0)\geq x_0\)となる．

解答

1. \(f(x)=x^2\) (\(x>-1\)), \(g(x)=x^2-1\) (\(x>0\)).

2. \(t\in[0,1]\)とする．\(g\)の凸性より，\(g(tx+(1-t)y)\leq t g(x)+(1-t)g(y)\). これと\(f\)の単調増加性より， \[f(g(tx+(1-t)y))\leq f(t g(x)+(1-t)g(y)).\] \(f\)の凸性より， \[f(t g(x)+(1-t)g(y))\leq t f(g(x))+(1-t)f(g(y)).\] 以上より，\(f\circ g\)は凸である．

3. (a)を仮定して(b)を示す．凸関数の性質より，\(f\)は最小値\(m\)をもち，\(f^{-1}(m)\)は\(I\)の部分閉区間をなす．再び凸性より，\(f\)は\(f^{-1}(m)\)の左側で狭義単調減少，右側で狭義単調増加である．\(f^{-1}(m)\)は\(I\)の右端点\(b\)のみからなる1点集合だとすると\(f\)は狭義単調減少となってしまうから，最小の広義極小点\(x_0\coloneqq\min f^{-1}(m)\)は\(b\)とは一致しない．\(f(x_0)\geq x_0\)を背理法で示す．\(f(x_0)<x_0\)と仮定する．\(f(x_0)\)が最小値であることと，\(f\)の連続性より，ある\(x_0\)の近傍である開集合\(O\)が存在して，\(f(O)\subset [f(x_0),x_0)\)となる．\(x_0<b\)より，\(O\cap [x_0,b]\)はある区間を含む．\(f|_{O\cap [x_0,b]}\)は広義単調増加である．一方，\(f|_{O\cap [a,x_0]}\)は狭義単調減少である．\(f|_{[f(x_0),x_0]}\)は狭義単調減少であることに着目する．\((f\circ f)|_{O\cap [a,x_0]}= f|_{[f(x_0),x_0]}\circ f|_{O\cap [a,x_0]}\)は狭義単調減少関数同士の合成だから狭義単調増加である．一方，\((f\circ f)|_{O\cap [x_0,b]}= f|_{[f(x_0),x_0]}\circ f|_{O\cap [x_0,b]}\)は広義単調増加関数と狭義単調減少関数の合成だから広義単調減少である．よって，\(f\circ f\)は（定数関数でなく，しかも）\(x_0<b\)において広義極大値をとるが，これは\(f\circ f\)が下に凸であることに矛盾する．

   (b)を仮定して(a)を示す．最小値\(f(x_0)\geq x_0\)より，\(f(I)\subset [x_0,b]\)である．また，\(f|_{[x_0,b]}\)は広義単調増加である．よって，\(f\circ f=f|_{[x_0,b]}\circ f\)は凸関数と広義単調増加凸関数の合成だから，凸関数である．

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