2 バーゼル問題とその応用
バーゼル問題は、平方数の逆数和がどんな値になるかという問題です。この問題は1735年にオイラーによって解かれ、\(\pi^2/6\)に収束することが証明されました。平方数の逆数和に円周率\(\pi\)が出てくることは驚きですが、これには三角関数が深く関わっています。ここではフーリエ級数展開と三角関数の直交性を用いてバーゼル問題とその応用について考察します。
2.1 バーゼル問題を解く
事前準備として、前回導出した式(17)の定義域を拡張します。
\[\begin{align}
\hspace{3.5cm} \frac{\pi-x}{2}=\frac{{\rm sin}\, x}{1}+\frac{{\rm sin}\, 2x}{2}+\frac{{\rm sin}\, 3x}{3}+\frac{{\rm sin}\, 4x}{4}+\cdots \hspace{1cm} (0 < x < 2\pi) \hspace{2.5cm} (17\mbox{再掲})
\end{align}\]
現時点では正の範囲でのみ定義されていますが、少しテコ入れするとマイナスの範囲でも類似の式を得ることができます。右辺の\(x\)を\(-2\pi < x < 0\)として、\(x=-t\)とすると、
\[\begin{align}
(\mbox{右辺}) &= \frac{{\rm sin}\, (-t)}{1}+\frac{{\rm sin}\, (-2t)}{2}+\frac{{\rm sin}\, (-3t)}{3}+\frac{{\rm sin}\, (-4t)}{4}+\cdots \hspace{1cm} (0 < t < 2\pi) \nonumber \\
&= -\frac{{\rm sin}\, t}{1}-\frac{{\rm sin}\, 2t}{2}-\frac{{\rm sin}\, 3t}{3}-\frac{{\rm sin}\, 4t}{4}+\cdots \hspace{1cm} (0 < t < 2\pi)
\label{21}\tag{21}
\end{align}\]
\(t\)の範囲が\(0 < t < 2\pi\)なので式(17)を適用できます。
\[\begin{align}
-\frac{{\rm sin}\, t}{1}-\frac{{\rm sin}\, 2t}{2}-\frac{{\rm sin}\, 3t}{3}-\frac{{\rm sin}\, 4t}{4}+\cdots=-\frac{\pi-t}{2} \hspace{1cm} (0 < t < 2\pi)
\label{22}\tag{22}
\end{align}\]
これで式(17)の右辺を負の領域まで拡張できました。また式(17)の右辺に\(x=0\)を代入すると\({\rm sin}\, nx=0\)より総和も0となります。ここまでの結果をまとめると、
\[\begin{align}
\frac{{\rm sin}\, x}{1}+\frac{{\rm sin}\, 2x}{2}+\frac{{\rm sin}\, 3x}{3}+\frac{{\rm sin}\, 4x}{4}+\cdots=\left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle -\frac{\pi-x}{2} \hspace{0.3cm} (-2\pi < x < 0) \\
\hspace{0.5cm} 0 \hspace{1.3cm} (x=0) \\
\displaystyle \hspace{0.1cm} \frac{\pi-x}{2} \hspace{0.5cm} (0 < x < 2\pi)
\end{array}
\right.
\label{23}\tag{23}
\end{align}\]
という等式が成り立ちます。
これで準備が整いました。これを用いてバーゼル問題を解いていきます。式([23])の両辺を2乗し、\(-\pi\)～\(\pi\)で積分すると以下のようになります。
\[\begin{align}
\int_{-\pi}^{\pi} \left(\frac{{\rm sin}\, x}{1}+\frac{{\rm sin}\, 2x}{2}+\frac{{\rm sin}\, 3x}{3}+\frac{{\rm sin}\, 4x}{4}+\cdots \right)^2dx=\int_{-\pi}^{\pi} \left( \frac{\pi-x}{2} \right)^2dx
\label{24}\tag{24}
\end{align}\] 式([23])では\(x\)の範囲によって右辺の関数が変わりますが、2乗すると同じ関数になるのでまとめて書き表しました。また、\(x=0\)で不連続ですが積分は可能です。(丁寧に書くなら定積分を\(-\pi\)～\(0\)と\(0\)～\(\pi\)で分けて書くべきですね)
一方で、左辺の積分の中身は2乗を計算するときに各項どうしの積が出てきますが、三角関数の直交性より
\[\begin{align}
\int_{-\pi}^{\pi}\frac{{\rm sin}\, (mx)}{m} \cdot \frac{{\rm sin}\, (nx)}{n} \, dx=0 \hspace{0.5cm} (m\neq n) \; , \hspace{0.5cm} \int_{-\pi}^{\pi}\frac{{\rm sin}\, (mx)}{m} \cdot \frac{{\rm sin}\, (nx)}{n} \, dx=\frac{\pi}{mn} \hspace{0.5cm} (m=n)
\label{25}\tag{25}
\end{align}\] が成り立つので、\(m\neq n\)の項がすべて消え、\(m=n\)だけが残ります。よって左辺は、
\[\begin{align}
(\mbox{左辺}) &= \frac{\pi}{1^2}+\frac{\pi}{2^2}+\frac{\pi}{3^2}+\frac{\pi}{4^2}+\cdots \nonumber \\
&= \pi \left(\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\cdots \right)
\label{26}\tag{26}
\end{align}\] となります。目的であった平方数の逆数和が出てきました。あとは右辺の積分を計算することで 平方数の逆数和を求めることができます。 \[\begin{align}
(\mbox{右辺})&=\int_{-\pi}^{\pi} \left( \frac{\pi-x}{2} \right)^2dx \nonumber \\
&=2\int_0^{\pi} \left(\frac{\pi-x}{2}\right)^2dx \nonumber \\
&=\frac{1}{2}\int_0^{\pi} (\pi^2-2\pi x+x^2) \, dx \nonumber \\
&=\frac{1}{2} \Big[\pi^2x-\pi x^2+\frac{x^3}{3} \Big]^{\pi}_0 \nonumber \\
&=\frac{\pi^3}{6}
\label{27}\tag{27}
\end{align}\] 式([26])と式([27])より両辺を\(\pi\)で割って、 \[\begin{align}
\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\cdots=\frac{\pi^2}{6}
\label{28}\tag{28}
\end{align}\] こうしてバーゼル問題を解くことができました。
2.2 解法の応用
実は、バーゼル問題を解くだけなら\(x^2\)のフーリエ級数展開に\(x=\pi\)を代入する方がよりシンプルに解くことができます。ではどうして前節のような手間のかかる解法を使ったのかと言うと、前節の解法はバーゼル問題以外にも応用できるためです。
この解法のポイントは、2乗の積分を計算するときに三角関数の直交性によって\(m=n\)の項だけが残ることです。これを利用して、ある奇関数\(f(x)\)のフーリエ級数展開
\[\begin{align}
f(x)=\frac{{\rm sin}\, x}{g(1)}+\frac{{\rm sin}\, 2x}{g(2)}+\frac{{\rm sin}\, 3x}{g(3)}+\frac{{\rm sin}\, 4x}{g(4)}+\cdots \hspace{0.5cm} (g(n)\mbox{は自然数$n$の関数})
\label{29}\tag{29}
\end{align}\]
の2乗を積分すると
\[\begin{align}
\int_{-\pi}^{\pi}\{f(x)\}^2 dx= \int_{-\pi}^{\pi}\left(\frac{{\rm sin}\, x}{g(1)}+\frac{{\rm sin}\, 2x}{g(2)}+\frac{{\rm sin}\, 3x}{g(3)}+\frac{{\rm sin}\, 4x}{g(4)}+\cdots \right)^2 dx \nonumber \\
=\pi \left(\frac{1}{\{g(1)\}^2}+\frac{1}{\{g(2)\}^2}+\frac{1}{\{g(3)\}^2}+\frac{1}{\{g(4)\}^2}+\cdots \right)
\label{30}\tag{30}
\end{align}\]
となるので、\(1/\{g(n)\}^2\)の無限和を得ることができます。式([29])の左辺は偶関数でも構いません。その場合、\({\rm sin}\, nx\)の和が\({\rm cos}\, nx\)の和になります。
例として、前回紹介した
\[\begin{align}
\left.
\begin{array}{l}
\displaystyle \frac{\pi}{8}{\rm sin}^2\, x \hspace{0.5cm} (-\pi \leq x < 0) \\
\displaystyle -\displaystyle \frac{\pi}{8}{\rm sin}^2\, x \hspace{0.5cm} (0 \leq x \leq \pi)
\end{array}
\right\}=\frac{{\rm sin}\, x}{-1 \cdot 1 \cdot 3}+\frac{{\rm sin}\, 3x}{1 \cdot 3 \cdot 5}+\frac{{\rm sin}\, 5x}{3 \cdot 5 \cdot 7}+\frac{{\rm sin}\, 7x}{5 \cdot 7 \cdot 9}+\cdots
\label{31}\tag{31}
\end{align}\]
の2乗を積分すると
\[\begin{align}
\frac{\pi^2}{64}\int_{-\pi}^{\pi}{\rm sin}^4\, x\, dx= \int_{-\pi}^{\pi}\left(\frac{{\rm sin}\, x}{-1 \cdot 1 \cdot 3}+\frac{{\rm sin}\, 3x}{1 \cdot 3 \cdot 5}+\frac{{\rm sin}\, 5x}{3 \cdot 5 \cdot 7}+\frac{{\rm sin}\, 7x}{5 \cdot 7 \cdot 9}+\cdots \right)^2 dx \nonumber \\
=\pi \left(\frac{1}{(-1 \cdot 1 \cdot 3)^2}+\frac{1}{(1 \cdot 3 \cdot 5)^2}+\frac{1}{(3 \cdot 5 \cdot 7)^2}+\frac{1}{(5 \cdot 7 \cdot 9)^2}+\cdots \right)
\label{32}\tag{32}
\end{align}\]
のようにちょっと変わった無限和を計算することもできます。
せっかくなので左辺を計算して無限和の値を求めましょう。
\[\begin{align}
(\mbox{左辺})&= \frac{\pi^2}{32}\int_0^{\pi}{\rm sin}^4\, x\, dx \nonumber \\
&= \frac{\pi^2}{32}\int_0^{\pi}\left(\frac{1-{\rm cos}\, 2x}{2} \right)^2 dx \nonumber \\
&= \frac{\pi^2}{128}\int_0^{\pi}(1-2\, {\rm cos}\, 2x+{\rm cos}^2\, 2x) \, dx \nonumber \\
&= \frac{\pi^2}{128}\int_0^{\pi}dx-\frac{\pi^2}{64}\int_0^{\pi} {\rm cos}\, 2x\, dx+\frac{\pi^2}{128}\int_0^{\pi} {\rm cos}^2\, 2x\, dx \nonumber \\
&= \frac{\pi^3}{128}-0+\frac{\pi^2}{128}\int_0^{\pi} \left(\frac{1+{\rm cos}\, 4x}{2} \right) dx \nonumber \\
&= \frac{\pi^3}{128}+\frac{\pi^2}{256}\int_0^{\pi} dx+\frac{\pi^2}{256}\int_0^{\pi} {\rm cos}\, 4x\, dx \nonumber \\
&= \frac{3\pi^3}{256}
\label{33}\tag{33}
\end{align}\]
式([32])と式([33])より両辺を\(\pi\)で割って、
\[\begin{align}
\frac{1}{(-1 \cdot 1 \cdot 3)^2}+\frac{1}{(1 \cdot 3 \cdot 5)^2}+\frac{1}{(3 \cdot 5 \cdot 7)^2}+\frac{1}{(5 \cdot 7 \cdot 9)^2}+\cdots=\frac{3\pi^2}{256}
\label{34}\tag{34}
\end{align}\]
となりました。もちろん他にもフーリエ級数の得られた関数であれば、2乗の逆数和を計算することができます。
また、前回紹介した式(20)について2乗の積分を計算すると、
\[\begin{align}
\int_0^{\pi} \left\{{\rm log} \left(2\, {\rm sin}\frac{x}{2} \right) \right\}^2dx= \int_0^{\pi} \left( \frac{{\rm cos}\, x}{1}+\frac{{\rm cos}\, 2x}{2}+\frac{{\rm cos}\, 3x}{3}+\frac{{\rm cos}\, 4x}{4}+\cdots \right)^2dx
\label{35}\tag{35}
\end{align}\]
積分範囲が\(-\pi\)〜\(\pi\)ではありませんが、この場合は偶関数の性質を使って
\[\begin{align}
\int_0^{\pi} {\rm cos}\, mx \cdot{\rm cos}\, nx \, dx=\frac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi}{\rm cos}\, mx \cdot{\rm cos}\, nx \, dx=\left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle \frac{\pi}{2} \hspace{0.5cm} (m=n) \\
\\
\hspace{0.07cm} 0 \hspace{0.52cm} (m\neq n)
\end{array}
\right.
\label{36}\tag{36}
\end{align}\]
とすれば三角関数の直交性を利用でき、
\[\begin{align}
\int_0^{\pi}\left\{{\rm log} \left(2\, {\rm sin}\frac{x}{2} \right) \right\}^2dx
&=\frac{\pi}{2}\left( \frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\cdots \right) \nonumber \\
&=\frac{\pi^3}{12}
\label{37}\tag{37}
\end{align}\]
このように、バーゼル問題から他の定積分の値を求めることもできます。 今回はフーリエ級数と三角関数の直交性を利用してバーゼル問題を解き、自然数に関する逆数和を求めました。次回はこれらを利用してリーマンゼータ関数とディリクレベータ関数の特殊値について考えてみたいと思います。
筆者: 井口 貴裕
