Proof. \(f\)の連続性より\(f\)の原始関数\(F\)が存在し，\(F'(x)=f(x)\)である．合成関数の微分より，\((F(g(t)))'=f(g(t))g'(t)\). よって， \[\int_a^b f(g(t))g'(t)dt=F(g(b))-F(g(a))=\int_{g(a)}^{g(b)}f(x)dx.\]

Proof. \(g([a,b])\)は\(\mathbb{R}\)の連結なコンパクト集合だから有界閉区間である．よって，\(f\)は有界であるから，\(c,x\in g([a,b])\)に対し，\(F(x)=\displaystyle\int_{c}^{x}f(y)dy\)が定まり，\(F\)はリプシッツ連続である．絶対連続関数とリプシッツ連続関数の合成\(F\circ g\)は絶対連続であり，微分可能な点においては合成関数の微分公式が成立するから，ほとんど至るところ\((F(g(x)))'=f(g(t))g'(t)\)である（もし\(F\)の微分不能点\(y_0\)に対し，\(g^{-1}(y_0)\)が正の測度を持つなら，\(g^{-1}(y_0)\)上でほとんど至る所右辺は0であり，左辺も定数の微分だから0となる）．よって，絶対連続関数に対するルベーグ積分における微分積分学の第二基本定理より， \[\int_a^b f(g(t))g'(t)dt=\int_a^b (F(g(t)))'dt=F(g(b))-F(g(a))=\int_{g(a)}^{g(b)}f(x)dx.\]

Proof. まず\(f\)が連続のときを考える． \[F(x):=\int_{g(a)}^{x} f(u)\,du\] と定めると，\(F\in C^1(g([a,b]))\) であり， \(F'(x)=f(x)\) が成り立つ．

\(g\)は連続な有界変動関数であるから，\(F\circ g\)も有界変動であり，\(F\circ g\)に関する スティルチェス積分が定義される．スティルチェス積分の部分積分公式を\(u\equiv 1\)，\(v=F\circ g\)に適用すると， \[\int_a^b d(F\circ g)
=\int_a^b u\,dv=u(b)v(b)-u(a)v(a)-\int_{a}^{b}v\,du=
F(g(b))-F(g(a))
\tag{1}\] 一方，\(F\circ g\) の全変動に関する定義から \[\int_a^b d(F\circ g)
=
\int_a^b f(g(t))\,dg(t)
\tag{2}\] また，\(F(g(a))=0\)であるから \[F(g(b))-F(g(a))
=\int_{g(a)}^{g(b)} f(x)\,dx
\tag{3}\] (1)–(3) を合わせると \[\int_a^b f(g(t))\,dg(t)
=
\int_{g(a)}^{g(b)} f(x)\,dx\] が従う．

次に一般の場合を考える．\(f\)は有界ボレル可測であるから，Lusinの定理より，一様有界なある\(g([a,b])\)上の連続関数列\(\{f_n\}\)が存在して， \[f_n \to f
\quad\text{a.e.}\] となる．連続関数の場合から，各\(n\)について \[\int_a^b f_n(g(t))\,dg(t)
=
\int_{g(a)}^{g(b)} f_n(x)\,dx.\] \(dg\)は有限符号付き測度，\(dx\)は有界閉区間上のルベーグ測度，\(\{f_n\}\)は一様有界であるから，ルベーグの収束定理より， \[\int_a^b f(g(t))\,dg(t)
= \int_{g(a)}^{g(b)} f(x)\,dx.\]

\(dg\)は\(g\)に付随するスティルチェス測度\(\mu_g\)による積分を表しています．記号的には\(dg=d\mu_g\)と思って良いでしょう．\(\mu_g\)がルベーグ測度に関して絶対連続な場合は前述の普通の変数変換による置換積分と同じになります．「ほとんど至る所での微分」ではなく（ルベーグ測度に関して特異かもしれない）符号付測度を用いた定式化です．通常のルベーグ積分の変数変換とこの定理を比較すると，\(g\)が有界変動ならルベーグ＝スティルチェス積分も「ほとんど至る所での微分」も定義できる反面，そのルベーグ＝スティルチェス積分が「ほとんど至る所での微分」を用いた置換積分に一致するとは限らず，一致させようとすると絶対連続くらいの若干強い条件が必要になるという微妙な事実が浮かび上がります．

符号付測度を許さない代わりに，離散測度も含めたより一般の測度（跳躍不連続点を持つ関数に相当する測度すらも許容）に関する変数変換公式として以下の定理4があります．後述するように，定理3の仮定を少し強めたものは，定理4で\(\varphi=g,\mu=(\mu_{g})_\pm\)としたものから従います．ここで，\((\mu_g)_{\pm}\)は\(\mu_g\)のジョルダン分解\(\mu_g=(\mu_g)_{+}-(\mu_g)_{-}\)から定まる広義単調増加関数を表します．

このように測度の押し出しを用いると，変数変換はほぼ常に成立すると言って良いです．しかし，定理3において\(g\)が連続である（とくに跳躍不連続点をもたない）という仮定を右連続性に弱めると，押し出し\(g_{*}\mu_g\)がルベーグ測度と一致するとは限らなくなるので，置換積分の形そのままでは成り立たなくなります．実際，\(g\)が跳躍不連続点をもつと，その間隙の部分（正のルベーグ測度をもつ）で\(f\)の値が変動しても，\(dg\)による積分ではその違いを識別できません．

\(g\)が単調増加でない場合もルベーグ測度と一致しなくなります（例えば負の測度にもなり得ます）が，これによって「増えてから減る」という変動が打ち消されるおかげで，積分区間が可測集合\(g([a,b])\)ではなくちょうど向きの付いた「\(g(a)\)から\(g(b)\)」になります．分布関数を用いた証明では，打ち消される様子がよく分からなかったかもしれない（途中でやっている区間分割は純粋に位相空間論的な分割で，\(g\)が単調となるような区間に分割しているわけではありません）ので，\(g\)が可算個の単調な区間に分割できるような関数である場合を考えましょう．これは有界変動よりも若干強い仮定です：

大小関係が逆の場合は符号変換から従うので，\(g(a)\leq g(b)\)の場合を考えます．半開区間\((\alpha,\beta]\subset [g(a),g(b)]\)を任意にとり，\(g^{-1}((\alpha,\beta])\)を\(g\)が広義単調増加となる高々可算個の区間\((c_{i}^{\uparrow},d_{i}^{\uparrow}]\) (\(i\in \mathbb{N}\))と狭義単調減少になる高々可算個の区間\((c_{i}^{\downarrow},d_{i}^{\downarrow}]\) (\(i\in \mathbb{N}\))に分割します．有限個の区間分割の場合は途中から\(c_{i}^{\uparrow}=d_{i}^{\uparrow}\)あるいは\(c_{i}^{\downarrow}=d_{i}^{\downarrow}\)と見做します．このとき， \[\begin{align*}
(g_{*}(\mu_g)_{+})((\alpha,\beta]) & = (\mu_g)_{+}(g^{-1}((\alpha,\beta])) \\
& = \sum_{i\in\mathbb{N}}(\mu_g)_{+}((c_{i}^{\uparrow},d_{i}^{\uparrow}]) \\
& = \sum_{i\in\mathbb{N}}(g(d_{i}^{\uparrow}])-g(c_{i}^{\uparrow})).
\end{align*}\] 有界変動性の仮定から，この正項級数は収束します．\(g_{*}(\mu_g)_{-}\)に関しても同様にすると， \[(g_{*}(\mu_g)_{-})((\alpha,\beta])=-\sum_{i\in\mathbb{N}}(g(d_{i}^{\downarrow}])-g(c_{i}^{\downarrow})).\] 単調増加区間と単調減少区間は端点を共有するように並びます．すなわち，\(d_{i}^{\uparrow}\)と\(c_{i}^{\downarrow}\)，\(d_{i}^{\downarrow}\)と\(c_{i}^{\uparrow}\)はペアになっています．絶対収束する級数の項の順序は入れ替えられるので，内部点での寄与は互いに相殺され，両端のみが残るため， \[g_{*}\mu_g((\alpha,\beta])=(g_{*}(\mu_g)_{+})((\alpha,\beta])-(g_{*}(\mu_g)_{-})((\alpha,\beta])=g(g^{-1}(\beta))-g(g^{-1}(\alpha))=\beta-\alpha.\] 一方で，\((\alpha,\beta]\subset g([a,b])\setminus [g(a),g(b)]\)に対して同様のことを考えると，両端も含めて打ち消し合うため，\(g_{*}\mu_g((\alpha,\beta])=0\)です．半開区間全体で生成される完全加法族はボレル集合全体に一致するので，これで\(g_{*}\mu_g\)の完備化が\([g(a),g(b)]\)上のルベーグ測度を区間外で0に拡張したものに一致する，すなわち任意のボレル集合\(B\subset\mathbb{R}\)に対して \[(g_*\mu_g)(B)=\lambda(B\cap [g(a),g(b)])\] となる様子が見て取れました．これと定理4より， \[\begin{align*}
\int_a^b f\circ g\, dg & = \int_a^b f\circ g\, d(\mu_g)_{+}-\int_a^b f\circ g\, d(\mu_g)_{-} \\
& = \int_{g([a,b])} f\, d(g_{*}(\mu_g)_{+})-\int_{g([a,b])} f\, d(g_{*}(\mu_g)_{-}) \\
& = \int_{g([a,b])} f\, d(g_{*}\mu_g)=\int_{[g(a),g(b)]}f(x)dx.
\end{align*}\] となり，定理3が従います．

いかがだったでしょうか．適切な意味で解釈すれば，置換積分の公式はかなり広い関数のクラスで成立することが分かりましたね．ほとんど至る所で定義された導関数を使った置換積分と，スティルチェス測度による置換積分のきわどい違いを味わえたのではないかと思います．

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