2024.10.10

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突然規則性が破れる「Borwein積分」 –number-sections

Borwein積分と呼ばれる不思議な積分をご紹介します．まずは次のいくつかの定積分をご覧ください． \[\int_0^{\infty}\frac{\sin(x)}{x}dx=\frac{\pi}{2}\] \[\int_0^{\infty}\frac{\sin(x)}{x} \frac{\sin(x/3)}{x/3} dx=\frac{\pi}{2}\] \[\int_0^{\infty}\frac{\sin(x)}{x} \frac{\sin(x/3)}{x/3} \frac{\sin(x/5)}{x/5} dx=\frac{\pi}{2}\] \[\int_0^{\infty}\frac{\sin(x)}{x} \frac{\sin(x/3)}{x/3} \frac{\sin(x/5)}{x/5} \frac{\sin(x/7)}{x/7} dx=\frac{\pi}{2}\] \[\int_0^{\infty}\frac{\sin(x)}{x} \frac{\sin(x/3)}{x/3} \frac{\sin(x/5)}{x/5} \frac{\sin(x/7)}{x/7} \frac{\sin(x/9)}{x/9} dx=\frac{\pi}{2}\] \[\int_0^{\infty}\frac{\sin(x)}{x} \frac{\sin(x/3)}{x/3} \frac{\sin(x/5)}{x/5} \frac{\sin(x/7)}{x/7} \frac{\sin(x/9)}{x/9} \frac{\sin(x/11)}{x/11} dx=\frac{\pi}{2}\] \[\int_0^{\infty}\frac{\sin(x)}{x} \frac{\sin(x/3)}{x/3} \frac{\sin(x/5)}{x/5} \frac{\sin(x/7)}{x/7} \frac{\sin(x/9)}{x/9} \frac{\sin(x/11)}{x/11} \frac{\sin(x/13)}{x/13} dx=\frac{\pi}{2}\] これらの等式は正確に成り立つものです．では， \[I\coloneqq\int_0^{\infty}\frac{\sin(x)}{x} \frac{\sin(x/3)}{x/3} \frac{\sin(x/5)}{x/5} \frac{\sin(x/7)}{x/7} \frac{\sin(x/9)}{x/9} \frac{\sin(x/11)}{x/11} \frac{\sin(x/13)}{x/13} \frac{\sin(x/15)}{x/15} dx\] の値はどうなるでしょうか？ 今までの流れからすると，\(\displaystyle\frac{\pi}{2}\)になりそうですよね？ ところが，実際の値は \[\begin{split}
I&=\int_0^{\infty}\frac{\sin(x)}{x} \frac{\sin(x/3)}{x/3} \frac{\sin(x/5)}{x/5} \frac{\sin(x/7)}{x/7} \frac{\sin(x/9)}{x/9} \frac{\sin(x/11)}{x/11} \frac{\sin(x/13)}{x/13} \frac{\sin(x/15)}{x/15} dx \\
&=\frac{467807924713440738696537864469}{935615849440640907310521750000}\pi \\
&= \frac{\pi}{2} – \frac{6879714958723010531}{935615849440640907310521750000}\pi
\end{split}\] となり，\(\displaystyle\frac{\pi}{2}\)よりもほんの少しだけ小さくなります()．一体，何故このようなことが起きるのでしょうか？

実はフーリエ変換を使うと，この理由が直感的に分かりやすく説明できます．

1 フーリエ変換

フーリエ変換には定義の流儀が何種類かありますが，ここでは次のフーリエ変換の定義を採用することにします．

フーリエ変換およびフーリエ逆変換は緩増加超関数の空間\(\mathcal{S}'(\mathbb{R})\)から\(\mathcal{S}'(\mathbb{R})\)自身への全単射（実際にはより強く\(\mathcal{S}'(\mathbb{R})\)上の位相線形自己同型）へと一意に拡張されます．\(\mathcal{S}'(\mathbb{R})\)の詳しい説明は今回は割愛しますが，\(\mathcal{S}'(\mathbb{R})\)はシュワルツ空間と呼ばれる「微分と多項式倍が都合良くできる関数の集合」\(\mathcal{S}(\mathbb{R})\)の連続双対空間であり，フーリエ変換の舞台として適切とされる十分大きい集合です．

次の「フーリエ反転公式」により，フーリエ逆変換が文字通りフーリエ変換の逆変換であることが保証されます．

例えば，区間\([-a,a]\) (\(a>0\))の定義関数 \[\chi_{[-a,a]}(x)\coloneqq\begin{cases}
1 &(-a\leq x\leq a)\\
0 &(x<-a\text{ or }x>a)
\end{cases}\] のフーリエ変換は \[\begin{aligned}
\mathcal{F}[\chi_{[-a,a]}](\xi)&\coloneqq\int_{-\infty}^\infty \chi_{[-a,a]}(x)e^{-ix\xi}dx \\
&= \int_{-a}^{a} e^{-ix\xi}dx=\frac{e^{ia\xi}-e^{-ia\xi}}{i\xi}=\frac{2\sin(a\xi)}{\xi}
\end{aligned}\] と計算できるので，\(\mathcal{F}[f](\xi)=2\pi\mathcal{F}^{\ast}[f](-\xi)\)に注意すると，フーリエ反転公式より， \[\mathcal{F}\left[\frac{\sin ax}{x}\right](\xi)=\frac{1}{2} \mathcal{F}^2[\chi_{[-a,a]}](\xi) =\pi \mathcal{F}^{\ast}[\mathcal{F}[\chi_{[-a,a]}]](-\xi) =\pi\chi_{[-a,a]}(\xi)\] が従います．

また，フーリエ変換は，乗法\(\cdot:(f,g)\mapsto fg\)と畳み込み\(\ast:(f,g)\mapsto \displaystyle f\ast g\coloneqq \int_{-\infty}^{\infty}f(x-t)g(t)dt\)に関して次のような性質をもっています．

つまり，フーリエ変換によって積が畳み込みに，畳み込みが積に変換されます．

2 \(I<\pi/2\)の証明

以下は論文の内容を噛み砕いた説明です．

\(a_1,\ldots,a_n>0\)とします．フーリエ変換によって積が畳み込みに変換されることと，前述のフーリエ変換の計算例を使うと， \[\begin{split}
\int_{0}^{\infty} \prod_{k=1}^{n}\frac{\sin(a_k x)}{a_k x}dx &=\frac{1}{2}\mathcal{F}\left[\prod_{k=1}^{n}\frac{\sin(a_k x)}{a_k x}\right](0) \\
&= \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2\pi}\right)^{n-1}\left(\mathcal{F}\left[\frac{\sin(a_1 x)}{a_1 x}\right]\ast \mathcal{F}\left[\frac{\sin(a_2 x)}{a_2 x}\right] \ast \cdot \ast \mathcal{F}\left[\frac{\sin(a_n x)}{a_n x}\right]\right)(0) \\
&= \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2\pi}\right)^{n-1}\left(\pi\chi_{[-a_1,a_1]}\ast \frac{\pi}{a_2}\chi_{[-a_2,a_2]} \ast \cdot \ast \frac{\pi}{a_n}\chi_{[-a_n,a_n]}\right)(0) \\
&= \frac{\pi}{2a_1}\left(\chi_{[-a_1,a_1]}\ast \frac{1}{2a_2}\chi_{[-a_2,a_2]} \ast \cdot \ast \frac{1}{2a_n}\chi_{[-a_n,a_n]}\right)(0) \\
\end{split}\] ここで，\([-a_k,a_k]\)に台をもち積分が1となる関数\(A_k\)との畳み込みを図形的に考えてみましょう．関数\(f\)と\(A_k\)との畳み込みは，\(f\)のグラフを各点の周りで\(A_k\)の分布に基づいて重み付きで「均す」（平均化させる）ことを意味します． \[\int_{-a_k}^{a_k}f(x-t)A_k(t)dt\] 特に，\(A_k=\displaystyle\frac{1}{2a_k}\chi_{[-a_k,a_k]}\)の場合は，重みが定数なので，単純に半径\(a_k\)の範囲で関数値の平均をとる操作になります．\(k=2,3,\ldots,n\)に対して，このような操作を，グラフが横\(2a_1\)，縦1の長方形となる関数\(\chi_{[-a_1,a_1]}\)に繰り返し適用するとどうなるでしょうか？ まず\(A_2\)との畳み込みを考えると，長方形の端の部分が滑り台のようになります．

\(a_2<a_1\)のときは長方形の真ん中辺りはまっすぐなまま残るため，原点付近での値は変化せず，グラフは台形になります．更に，\(A_3,A_4,\ldots\)と畳み込むと，長方形の端の方から徐々に滑らかになっていきます．

\(a_2+a_3+\cdots+a_n\leq a_1\)のときは，\(A_k\)まで畳み込んでも水平な部分が残ります．一方，\(a_2+a_3+\cdots+a_n> a_1\)のときは中央（原点）まで侵食されて値が少しだけ小さくなります．

冒頭の例では\(\displaystyle \frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\cdots+\frac{1}{13}<1\)だから積分値がしばらく\(\pi/2\)のままだった一方，\(\displaystyle \frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\cdots+\frac{1}{15}>1\)だから\(I<\pi/2\)となったわけです．

いかがだったでしょうか？ 具体的な関数の計算は難しくても，このようにグラフをイメージすると謎が解けることがあります．それにしても突然規則性が破れるのはビックリしますね．