安部数式ページ

集合族$¥cal F$は、以下の性質を満たす。

$\emptyset \in {\cal F}$
$A \in {\cal F}$なら、$Omega¥setminus A ¥in {¥cal F}$:文中の数式は$はだめ
$¥{A_n¥}_{n = 1}^¥infty ¥subset {¥cal F}$なら、$\displaystyle \bigcup_{n = 1}^\infty A_n \in {\cal F}$: また、¥ではなく\を使おう。

積分記号

$$\lim_{n \to \infty} \int_\Omega f_n d\mu = \int_\Omega f d\mu$$

分数

バックスラッシュと[ でも数式の段を記述できて

\[\frac{1}{\sum_{n = 0}^\infty P_n(0, x)} = 0\] と書ける。もちろん「$$」でもいい。すなわち、

$$\frac{1}{\sum_{n = 0}^\infty P_n(0, x)} = 0$$

である。

複数行の計算

\begin{align}f\ast f(y) &= \int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}}e^{\frac{(y – x)^2}{2\sigma^2}}\cdot \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}}e^{\frac{x^2}{2\sigma^2}} dx\\ &= \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}} \int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}}e^{\frac{y^2 – 2xy + x^2 + x^2}{2\sigma^2}}dx\\ &= \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}} \int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}}e^{\frac{2(x – y/2)^2 + y^2/2}{2\sigma^2}}dx\\ &= \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}}e^{\frac{y^2}{4\sigma^2}} \int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}}e^{\frac{2(x – y/2)^2}{2\sigma^2}}dx\\ &= \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}}e^{\frac{y^2}{4\sigma^2}} \int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}}e^{\frac{(x – y/2)^2}{2(\sigma/\sqrt{2})^2}}dx\\ &= \frac{1}{\sqrt{2 \pi (\sigma^2+\sigma^2)}}e^{\frac{y^2}{2(\sigma^2+\sigma^2)}} \int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2 \pi (\sigma/\sqrt{2})^2}}e^{\frac{(x – y/2)^2}{2(\sigma/\sqrt{2})^2}}dx\\&=\frac{1}{\sqrt{2 \pi (\sigma^2+\sigma^2)}}e^{\frac{y^2}{2(\sigma^2+\sigma^2)}}\end{align}