\(N\)次元超平面配置の問題 Part 1の続きです． 1 ザスラフスキー(Zaslavsky)の定理に基づく計算 前回の解法では(1)の最大値を漸化式によるゴリゴリ計算で初等的に求めましたが，実は束論を用いるとよりエレガントに証明できます．更に，二項係数の和が出てくる必然性が高次元でも説明できるようになります．Zaslavskyの定理[1] と呼ばれる次の事実を使います． Theorem 1.

2019年度の東京工業大学（現 東京科学大学）の入学試験に次のような問題が出題されました． 東京工業大学 2019 数学 第4問 \(H_1,H_2,\ldots,H_n\)を空間内の\(n\)枚の平面とする．\(H_1,H_2,\ldots,H_n\)によって空間が\(T(H_1,H_2,\ldots,H_n)\)個の空間領域に分割されるとする．例えば，空間の座標を\((x,y,z)\)とすると

次の積分の値はどうなるでしょうか？ \[\lim_{n\to\infty}\int_0^1\int_0^1\cdots\int_0^1\left(\frac{n}{x_1+x_2+\cdots +x_n}\right)^3 dx_1 dx_2\cdots dx_n\] 答えを先に言ってしまうと\(8\)になります．しかし，\(n\)重の積分を直接計算するのはなかなか大変です．どうやって証明すれば良